Definicja 1: Minor macierzy
Niech \( A \) będzie dowolną macierzą wymiaru \( m\times n \) i niech \( k \) będzie liczbą naturalną mniejszą lub równą od mniejszej z liczb \( m,n \). Minorem stopnia \( k \) macierzy \( A \) nazywamy wyznacznik utworzony z elementów tej macierzy stojących na przecięciu dowolnie wybranych \( k \) wierszy i \( k \) kolumn.
Przykład 1:
Niech macierz \( A \) będzie postaci
\( A=\left( \begin{array}{cccc} 1&2&3&4\\ 2&3&4&1\\ 3&4&1&2\\4&1&2&3 \end{array} \right). \)
Każdy z elementów macierzy \( A \) jest jej minorem stopnia \( 1 \).
Obliczymy przykładowy minor stopnia \( 2 \) macierzy \( A \). Wybieramy zatem dwa dowolne wiersze i dwie dowolne kolumny, niech będą to wiersze o numerach \( 1 \) i \( 3 \) oraz kolumny o numerach \( 2 \) i \( 4 \), a następnie obliczamy wyznacznik utworzony z elementów stojących na przecięciach wybranych wierszy i kolumn. W naszym przypadku będzie to wyznacznik
\( \left| \begin{array}{cc}2&4\\ 4&2\\ \end{array} \right|=4-16=-12. \)
Zauważmy, że chcąc obliczyć minor stopnia \( 4 \), do utworzenia go musimy wykorzystać wszystkie cztery wiersze i cztery kolumny macierzy \( A \). Wobec tego jedynym minorem stopnia \( 4 \) naszej macierzy jest jej wyznacznik
\( \mathrm{det}A=\left| \begin{array}{cccc} 1&2&3&4\\ 2&3&4&1\\ 3&4&1&2\\4&1&2&3 \end{array} \right|=-36. \)
Warto zauważyć, że dowolna macierz kwadratowa stopnia \( n \) ma dokładnie jeden minor stopnia \( n \). Jest nim mianowicie jej wyznacznik.
Przykład 2:
Rozważmy macierz \( A \) postaci
\( A=\left( \begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32}\\ a_{41}&a_{42} \end{array} \right). \)
Każda z liczb \( \mathrm{det}(a_{ij}) \) jest minorem stopnia \( 1 \), zatem rozważana macierz \( A \) ma ich \( 8 \).
Minorami stopnia \( 2 \) są:
\( \left| \begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{array} \right|, \left| \begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\ a_{31}&a_{32} \end{array} \right|, \left| \begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\ a_{41}&a_{42} \end{array} \right|, \left| \begin{array}{cc} a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32} \end{array} \right|, \left| \begin{array}{cc} a_{21}&a_{22}\\ a_{41}&a_{42} \end{array} \right|, \left| \begin{array}{cc} a_{31}&a_{32}\\ a_{41}&a_{42} \end{array} \right|. \)
Ponieważ macierz \( A \) jest wymiaru \( 4\times 2 \) więc nie może mieć minorów stopnia większego od \( 2 \).
Definicja 2: Rząd macierzy
Rzędem dowolnej macierzy \( A \) nazywamy taką liczbę naturalną \( r \), że z macierzy \( A \) można wybrać przynajmniej jeden niezerowy minor stopnia \( r \), natomiast wszystkie minory stopni większych od \( r \), jeśli takie istnieją, są równe zero.
Rząd macierzy \( A \) oznaczamy symbolem \( \mathrm{rz}(A) \) lub \( \mathrm{rank}(A) \).
Warto zanotować, że dla dowolnej niezerowej macierzy \( A \) zachodzi \( \mathrm{rz}(A)\geq 1 \). Wynika to z faktu, że każdy niezerowy element macierzy \( A \) jest jednocześnie jej minorem stopnia \( 1 \).
Z kolei dla macierzy zerowej dowolnego wymiaru przyjmujemy, że jej rząd jest równy zero.
Przykład 3:
Wyznaczmy rząd macierzy
\( A=\left( \begin{array}{rrr} 2&-1&5\\ 2&4&6\\ 4&3&11 \end{array} \right). \)
Ponieważ macierz \( A \) jest wymiaru \( 3\times 3 \), zatem jej rząd jest co najwyżej równy \( 3 \). Ponadto, skoro jest to macierz kwadratowa, to jedynym minorem stopnia \( 3 \) jest jej wyznacznik. Obliczamy zatem:
\( \left| \begin{array}{rrr} 2&-1&5\\ 2&4&6\\ 4&3&11 \end{array} \right|=0, \)
wobec czego \( \mathrm{rz}(A) < 3 \).
Szukamy następnie niezerowego minora stopnia \( 2 \). Takim minorem jest na przykład
\( \left| \begin{array}{rr} 2&-1\\ 2&4 \end{array} \right|=10 . \)
Rząd macierzy \( A \) jest wobec tego równy \( 2 \).
Twierdzenie 1: Własności rzędu macierzy
- Jeżeli \( A \) jest macierzą kwadratową nieosobliwą (tj. \( \mathrm{det}A
\neq 0 \)), to rząd \( A \) jest równy jej stopniowi; w szczególności \( \mathrm{rz}(A^{-1})=\mathrm{rz}(A) \);
- Dla dowolnej macierzy \( A \) zachodzi \( \mathrm{rz}(A^{T})=\mathrm{rz}(A) \).
Definicja 3: Przekształcenia elementarne
Niech \( A \) będzie dowolną macierzą.
Przekształceniami elementarnymi nazywamy następujące operacje na macierzy \( A \):
- Przestawienie dwóch wierszy (kolumn);
- Pomnożenie wiersza (kolumny) przez stałą różną od zera;
- Dodanie do wiersza (kolumny) innych wierszy (kolumn) pomnożonych przez dowolne stałe.
Przekształcenia elementarne nie zmieniają rzędu macierzy.
Wykonując przekształcenia elementarne macierzy będziemy używać pewnych specjalnych oznaczeń. Mianowicie zapis
\( w_{i}\rightarrow \alpha\cdot w_{i+1} \)
będzie oznaczać, że po przekształceniu w miejsce wiersza \( w_{i} \) wpiszemy wiersz \( w_{i+1} \) pomnożony przez \( \alpha \). Analogicznie, zapis
\( k_{j}\rightarrow \alpha\cdot k_{l}+\beta\cdot k_{m} \)
będzie oznaczał, że w miejsce kolumny \( k_{j} \) wpiszemy \( \alpha\cdot k_{l}+\beta\cdot k_{m} \).
Przykładowe przekształcenie może wyglądać następująco:
\( \left( \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array} \right)\rightarrow \left| \begin{array}{ccl} w_{1}&\rightarrow&2\cdot w_{3}\\ w_{2}&\rightarrow &w_{2}\\ w_{3}&\rightarrow&w_{2}-w_{1} \end{array} \right.\rightarrow \left( \begin{array}{rrr} 2\cdot a_{31}&2\cdot a_{32}&2\cdot a_{33}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{21}-a_{11}&a_{22}-a_{12}&a_{23}-a_{13} \end{array} \right). \)
Definicja 4: Macierz schodkowa
Macierzą schodkową (lub uogólnioną macierzą trójkątną) nazywamy taką macierz, w której pierwsze niezerowe elementy w kolejnych niezerowych wierszach znajdują się w kolumnach o rosnących numerach tj. jeżeli \( a_{ij}\neq 0 \) i dla każdego \( k < j \) \( a_{ik}=0 \), to \( a_{(i+1)s}=0 \) dla \( s\leq j \).
Przykład 4:
Przyjrzyjmy się macierzom:
\( A=\left( \begin{array}{ccccccc} 1&2&3&4&5&6\\ 0&1&2&0&1&2\\ 0&0&0&0&0&2 \end{array} \right), B=\left( \begin{array}{cccc} 1&0&2&3\\ 0&0&1&2\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&1 \end{array} \right), C=\left( \begin{array}{cccc} 1&0&2&3\\ 0&0&1&2\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&1 \end{array} \right). \)
Macierze \( A \) i \( B \) sa macierzami schodkowymi, natomiast w macierzy \( C \) w kolejnych trzecim i czwartym wierszu pierwsze niezerowe elementy leżą w kolumnie o tym samym numerze, zatem macierz \( C \) nie jest macierzą schodkową.
Twierdzenie 3: Rząd macierzy schodkowej
Rząd macierzy schodkowej jest równy liczbie jej niezerowych wierszy (czyli liczbie schodków).
Przykład 5:
Wyznaczmy rząd macierzy
\( A=\left( \begin{array}{rrrrr} 4&6&2\\ 3&1&4\\ 1&-2&3\\ 2&5&1 \end{array} \right). \)
Przekształcamy macierz do postaci schodkowej:
\( \left( \begin{array}{rrrrr} 4&6&2\\ 3&1&4\\ 1&-2&3\\ 2&5&1 \end{array} \right)\rightarrow \left| \begin{array}{ccl} w_{1}&\rightarrow &w_{3}\\ w_{2}&\rightarrow &w_{2}\\ w_{3}&\rightarrow &w_{1}\\ w_{4}&\rightarrow &w_{4} \end{array} \right.\rightarrow \left( \begin{array}{rrr} 1&-2&3\\ 3&1&4\\ 4&6&2\\ 2&5&1 \end{array} \right)\rightarrow \left| \begin{array}{ccl} w_{1}&\rightarrow &w_{1}\\ w_{2}&\rightarrow &w_{2}-3w_{1}\\ w_{3}&\rightarrow &w_{3}-4w_{1}\\ w_{4}&\rightarrow &w_{4}-2w_{1} \end{array} \right.\rightarrow \)
\( \left( \begin{array}{rrr} 1&-2&3\\ 0&7&-5\\ 0&14&-10\\ 0&9&-5 \end{array} \right)\rightarrow \left| \begin{array}{ccl} w_{1}&\rightarrow &w_{1}\\ w_{2}&\rightarrow &w_{2}\\ w_{3}&\rightarrow &w_{3}-2w_{2}\\ w_{4}&\rightarrow &7w_{4}-9w_{2} \end{array} \right.\rightarrow \left( \begin{array}{rrr} 1&-2&3\\ 0&7&-5\\ 0&0&0\\ 0&0&10 \end{array} \right). \)
Ponieważ zgodnie z twierdzeniem 2 zamiana wierszy nie wpływa na rząd macierzy, zatem otrzymaną macierz możemy zapisać jako
\( \left( \begin{array}{rrr} 1&-2&3\\ 0&7&-5\\ 0&0&10\\ 0&0&0 \end{array} \right), \)
wobec czego rząd macierzy \( A \) jest równy \( 3. \)
